 |
| View of Arles with Irises in the Foreground Arles: May, 1888 |
Benoit Mandelbrot"Unfortunately, the world has not been designed for the convenience of mathematicians. Contrary to popular opinion, mathematics is about simplifying life, not complicating it".
Biri bana Matematik Nedir? diye sorsa, elime bir kalem alıp, boş bir kağıda bir çizgi çizerim yalnızca. Matematik, herhangi bir kağıda çizilen, herhangi bir düz çizgiden ibarettir. Evet, bütün matematik bu sıradan çizgidir işte. Ve şunu da eklerim; "Matematiği gerçekten anlamak istiyorsan, bu kağıda bir başka çizgi çizmeden önce, halihazırda çizmiş olduğum bu çizgi kaç noktadan oluşuyor diye düşünmelisin". Çünkü, matematiğin özünde, sayısız noktadan oluşan düz bir çizginin soyutluğu vardır. Bu yüzden de matematik soyut olarak nitelendirilir. Çizdiğimiz, bir çizgide ne kadar nokta olabileceğini hesaplayamayacağımız için... Bu soyut aklın bir mucizesidir. İnsanın çizdiği o çizgi, dünyanın ortasından geçtiğini varsaydığımız ekvator gibi bize rehberlik eden, sonsuzluğun hediyesi bir mucizedir.
Şöyle düşünelim; bir insan sınırsız genişlikte bir renkler dünyasında, yalnızca çok büyük ton farklarının arasındaki geçişleri algılayabilir. Yani, bir gökkuşağında, bir renkten diğerine geçerken sayısız rengin bu geçişte olduğunu biliriz ama bunu çıplak gözle fark etmemiz mümkün değildir. Mesela kulaklarımız; yalnızca belirli frekanstaki sesleri işitebilir. Bunun altında veya üstünde kalan sesleri algılamamız mümkün değil. Yani sonsuz noktalardan oluşan kümeler içinde, algılarımız bize çok sınırlı bir demet sunmaktadır. Beyaz bir ışığı kıran prizma gibidir insan bu yüzden. Işık prizmadan kırıldıktan sonra, birkaç renge ayrılır ve insan bu renkleri ancak ana hatlarıyla bilir.
Bu yüzden noktayı da göremiyoruz ama çizgiyi, sayısız noktanın (Carl Sagan'ın deyimiyle milyarlarca ve milyarlarca) birleşmesiyle oluştuktan sonra algılayabiliyoruz ancak. Yeri gelmişken söylemeliyim; bir çizginin sayısız noktadan oluşması "Cantor tozu" yapısından oluşan Cantor dizisi teoremini destekler esasen. Cantor dizisini oluşturmak için L uzunluğunda bir doğru parçası alınır. Doğru parçasının ortadaki üçte birlik kısmı silinir. Artık L/3 uzunluğunda 2 adet doğru parçası vardır. Bu doğru parçalarının da ortadaki üçte birlik kısımları çıkarılır ve bu işlem sonsuza kadar tekrarlanırsa elde edilen yapının adı Cantor Tozudur. Bu tozun koordinatları bir Cantor dizisi oluşturur. Cantor Tozu sonsuz adet noktadan oluşur; ama toplam uzunluğu sıfırdır. Toplam uzunluğu sıfır olan bir şeyden, çizgiyi yani, "1"i elde ettik ve artık Matematik başlamış oldu.
Bir çizginin özünü oluşturan, noktaları bıraktığımızda bildiğimiz ve anladığımız soyut Matematik dünyasına geçiş yaparız. Artık sonsuzluğu elimize almış ve hafızamızın uç noktalarında sonsuzluğu eğip bükmeye başlarız. Örneğin, matematikte çarpma işleminin sembolü X'i düşünelim. Tüm çarpım işlemlerinin özünü içeren basitleştirilmiş bir ifade ve semboldür bu. Bildiğiniz gibi iki düz çizginin çaprazlama kesişim noktasını düşündüğümüzde yalnızca bir kesişim noktası vardır ve bu "1"dir. Yani "tek çizgi çarpım tek çizgi" eşittir 1. Daha sonra çarpım işlemini oluşturacak işlemlerin basamak sayısını da, aynı "x" sembolüne sadık kalarak artırabilir ve işlemi genişletebiliriz. Bunu daha iyi kavramak için;
Bu çarpma işlemi ile matematik dünyasına daha da derinlemesine girmiş oluyoruz. Tabii, bu işlemi yaparken fark edeceğimiz üzere, 10'luk sayma sistemini kullandığımız için artan basamağı soluna devir ediyoruz. Buradan da bildiğimiz "mod" hesaplarına geçiş yapmış oluruz. Eğer basamak sistemi olarak Romen rakamlarını kullansaydık veya saatlerde kullandığımız gibi 12'lik sistemi kullanarak devam etseydik, matematik mantığı daha değişik olacaktı. Bu yalnızca 10 rakamla ifade edilen sayma sisteminin tercihinin getirdiği bir sonuç.
Şimdi belirli bir düzlem üzerinde birbirleri ile kesişimleri olan veya olmayan düz çizgileri düşünelim. Bunların uzayda; aklımızda kurduğumuz uzayda yer kapladığını düşünürüz. İlk düşüncelerimizde hacimsiz olan çizgileri, yalnızca eğip bükerek (aklımız, gündelik yaşamda gördüğümüz biçimleri taklit etmektedir) geometri dünyasına geçiş yaparız. Eğer bu geometrik şekillerin belirli koordinatları olduğunu düşünmeye başlarsak buradan "analitik geometri"ye geçeriz. Bunların yerine düz çizgileri eğip bükerek oluşturduğumuz çemberlerin veya parabolik diğer çizgilerin meydana getirdiği alanların ölçümünü yapmak istediğimizde, belirli bir fonksiyona göre (fonksiyonlar) çizilmiş doğrunun her bir birimine tekabül eden eğimine göre, yatay veya düz çizgiler çizerek onun türevini ve integralini bulmuş oluruz aslında. Daha sonra çizdiğimiz çizgilerin oluşturduğu şekillerin bir alan sahibi olduğunu da düşünerek boyutları artırmış da oluruz. Dolayısıyla ilk çizgiyi çizdiğimiz andan sonra gelen ve yaşadığımız dünyaya bakarak, taklit etmeler ve akıl yürütmelerle oluşturulan Matematik aslında kolaydır ve tüm matematik evrenine açılan pencereleri görmemizi sağlar. O yüzden matematik bana göre, ilk soyut ve sonsuz noktadan oluşan çizgiden sonra var olmuştur.
Bu soyutluk ve sonsuzluk daha sonra Benoit Mandelbrot'nun da farkına varacağı şu sorunun doğmasına ve tabiri caizse, kaotik dünyamıza geri dönmemize neden olan sorunun çıkışına neden olmuştur; "İngiltere kıyılarının gerçek uzunluğu ne kadardır?" Çünkü uzaydan bakıldığında, İngiltere'nin kıyılarını ana hatlarıyla belki göreceğiz ve kesin bir ölçüm yapamayacağız. Daha sonra giderek dünyaya yaklaştığımızı düşünelim. İngiltere'ye her yaklaştığımızda; kıyılarının detayı artacak ve her seferinde kıyı uzunluğu azalarak artacak ve sonunda bir iplikle hatta mikroskobik ölçümlerle kıyı uzunluğunu hesapladığımızı düşünelim. Artık, İngiltere'nin kıyı uzunluğu sonsuza yakınsayacak.
Benoit Mandelbrot bu geçişleri ve zoom'ları pürüzlülük kat sayısı olarak nitelendirmiş ve oluşturulan fraktal bilgisayar programlarına bu katsayıların yaklaşık değerlerini girerek, kaotik dünyamızdaki dağ, tepe benzeri oluşumlara daha çok yaklaşmıştır. Buradaki aslı durumun; çizginin soyutluğundan, onun noktalardan oluşan sonsuzluğuna yaklaşma amacı olduğunu fark etmemiz gerekir. Bir çeşit, soyutluktan somut dünyaya adım atma gayretidir bu...
Bu yüzden ne aklın oluşturduğu soyut Matematik dünyasını anlamak çok zordur; ne de noktalardan oluşan sonsuz evreni. Biz bu evrenin içinde, yalnızca belirli renkleri görebilen, bazı sesleri duyabilen ve nihayetinde aklımızla da bir yere kadar görüp kavrayabilen mahluklarız. Voltaire buna, "Bourns Humain D'el Spirit" yani, "İnsan Zekasının Sınırları" diyor. Aklımızın dışında kalan tüm soyut evren, bizim için tahmin ve taklit edilmiş bir düş aleminden başka bir şey değildir...
Bu çarpma işlemi ile matematik dünyasına daha da derinlemesine girmiş oluyoruz. Tabii, bu işlemi yaparken fark edeceğimiz üzere, 10'luk sayma sistemini kullandığımız için artan basamağı soluna devir ediyoruz. Buradan da bildiğimiz "mod" hesaplarına geçiş yapmış oluruz. Eğer basamak sistemi olarak Romen rakamlarını kullansaydık veya saatlerde kullandığımız gibi 12'lik sistemi kullanarak devam etseydik, matematik mantığı daha değişik olacaktı. Bu yalnızca 10 rakamla ifade edilen sayma sisteminin tercihinin getirdiği bir sonuç.
Şimdi belirli bir düzlem üzerinde birbirleri ile kesişimleri olan veya olmayan düz çizgileri düşünelim. Bunların uzayda; aklımızda kurduğumuz uzayda yer kapladığını düşünürüz. İlk düşüncelerimizde hacimsiz olan çizgileri, yalnızca eğip bükerek (aklımız, gündelik yaşamda gördüğümüz biçimleri taklit etmektedir) geometri dünyasına geçiş yaparız. Eğer bu geometrik şekillerin belirli koordinatları olduğunu düşünmeye başlarsak buradan "analitik geometri"ye geçeriz. Bunların yerine düz çizgileri eğip bükerek oluşturduğumuz çemberlerin veya parabolik diğer çizgilerin meydana getirdiği alanların ölçümünü yapmak istediğimizde, belirli bir fonksiyona göre (fonksiyonlar) çizilmiş doğrunun her bir birimine tekabül eden eğimine göre, yatay veya düz çizgiler çizerek onun türevini ve integralini bulmuş oluruz aslında. Daha sonra çizdiğimiz çizgilerin oluşturduğu şekillerin bir alan sahibi olduğunu da düşünerek boyutları artırmış da oluruz. Dolayısıyla ilk çizgiyi çizdiğimiz andan sonra gelen ve yaşadığımız dünyaya bakarak, taklit etmeler ve akıl yürütmelerle oluşturulan Matematik aslında kolaydır ve tüm matematik evrenine açılan pencereleri görmemizi sağlar. O yüzden matematik bana göre, ilk soyut ve sonsuz noktadan oluşan çizgiden sonra var olmuştur.
Bu soyutluk ve sonsuzluk daha sonra Benoit Mandelbrot'nun da farkına varacağı şu sorunun doğmasına ve tabiri caizse, kaotik dünyamıza geri dönmemize neden olan sorunun çıkışına neden olmuştur; "İngiltere kıyılarının gerçek uzunluğu ne kadardır?" Çünkü uzaydan bakıldığında, İngiltere'nin kıyılarını ana hatlarıyla belki göreceğiz ve kesin bir ölçüm yapamayacağız. Daha sonra giderek dünyaya yaklaştığımızı düşünelim. İngiltere'ye her yaklaştığımızda; kıyılarının detayı artacak ve her seferinde kıyı uzunluğu azalarak artacak ve sonunda bir iplikle hatta mikroskobik ölçümlerle kıyı uzunluğunu hesapladığımızı düşünelim. Artık, İngiltere'nin kıyı uzunluğu sonsuza yakınsayacak.
Benoit Mandelbrot bu geçişleri ve zoom'ları pürüzlülük kat sayısı olarak nitelendirmiş ve oluşturulan fraktal bilgisayar programlarına bu katsayıların yaklaşık değerlerini girerek, kaotik dünyamızdaki dağ, tepe benzeri oluşumlara daha çok yaklaşmıştır. Buradaki aslı durumun; çizginin soyutluğundan, onun noktalardan oluşan sonsuzluğuna yaklaşma amacı olduğunu fark etmemiz gerekir. Bir çeşit, soyutluktan somut dünyaya adım atma gayretidir bu...
Bu yüzden ne aklın oluşturduğu soyut Matematik dünyasını anlamak çok zordur; ne de noktalardan oluşan sonsuz evreni. Biz bu evrenin içinde, yalnızca belirli renkleri görebilen, bazı sesleri duyabilen ve nihayetinde aklımızla da bir yere kadar görüp kavrayabilen mahluklarız. Voltaire buna, "Bourns Humain D'el Spirit" yani, "İnsan Zekasının Sınırları" diyor. Aklımızın dışında kalan tüm soyut evren, bizim için tahmin ve taklit edilmiş bir düş aleminden başka bir şey değildir...
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder